Uni-Bayreuth, Sommersemester 1998
Mathematikdidaktik
Seminar:Multimediales Problemlösen
 
Betreuer:  P. Baptist
                 W. Neidhardt
                 A. Wassermann

Studenten:  Marc Fickentscher
                    Oliver Goldfuss
                     Thomas Einwag
 

 
 
Experimentelle Geometrie: Geometrische Orte
 

1.) Eine merkwürdige Ortslinie

Zwei Hobbygärtner (Alfred und Bernhard) haben folgendes Problem:
In ihren viereckigen Gärten befinden sich jeweils nur am rechten und linken Rand Fusswege;
da sie nur von dort aus gießen können, möchten sie in die 'Mitte' Ihrer Gärten widerstandsfähige Pflanzen mit weniger Wasserbedarf setzen.

Wo aber ist diese 'Mitte' ???

Sie überlegen sich folgendes Verfahren:

An einem genügend langen Seil werden an den Enden Pflöcke befestigt; in verschiedenen Durchgängen wird jeweils der eine Pflock auf einer Seite fest eingeschlagen, während der Gärtner mit dem anderen auf der gegenüberliegenden Seite marschiert
In von Ihm frei gewählten Abständen schlägt er auch diesen Pflock ein, misst die Länge des Seils, bestimmt die Mitte und bringt dort eine Markierung an.

So hoffen sie in Ihren Gärten jeweils genau die Mitte zu finden !

Schau Dir das doch mal genauer an:


Gärtner Alfred
Gärtner Bernhard


 

Dieses Problem geht auf einen polnischen Mathematikdidaktiker zurück (Stefan Turnau) und wurde z.B. schon von Hans Schupp [ Und zwar in : Mathematik in der Schule 31 (1996) ] genauer unter die Lupe genommen.

Die mathematische Formulierung lautet:

In der Ebene seien zwei Strecken a=[AB] und c=[CD] gegeben. Gesucht ist die Menge der Mittelpunkte aller Strecken [XY], für die X auf a liegt und Y auf c.

Ergebnis:

Im Sonderfall von Gärtner Alfred (parallele Strecken) gilt: Die Menge aller Mittelpunkte der Strecken [XY]entspricht der Mittelparallelen von [AB] und [CD].

Im Falle von Gärtner Bernhard (nichtparallele Strecken) gilt:

Die Menge aller Mittelpunkte ist die Fläche eines Parallelogramms, dessen Ecken jeweils die Mitten der Verbindungsstrecken von den Endpunkten der ersten Strecke ( auf der X liegt ) zu den Endpunkten der zweiten Strecke ( auf der Y liegt ) sind.

Einen Beweis dafür findest Du  hier !
 
 

2.) Ausgangskreise statt Strecken
 

Natürlich kann man sich dieses Problem auch auf  Kreise transferiert denken !!!
 

3.) Ausblicke

So, sicherlich hast Du gemerkt, dass man sich hier noch viel überlegen kann, z.B.:

  • Was passiert, wenn die Strecken aus 1.) einen gemeinsamen Punkt haben
    (Schnittwinkel variieren !)

  • Wie ändert sich die 'Ortslinie', wenn man nicht die Mitte, sondern ein beliebiges anderes Teilverhältnis wählt.
    ( Also nicht 1:1, sondern vielleicht 1:2, usw. )
    Diese Überlegung lässt sich übrigens auch für das Kreisproblem anstellen !

  • usw.

Willst Du jetzt selbst zu virtuellem Zirkel und Lineal greifen, dann kannst Du das genau hier tun:

 
 
 
 
Und hier nochmal alle Seiten im šberblick: