Thales soll diesen Satz bewiesen haben. Wie genau, weiß man nicht,
doch Proklos
läßt es uns ahnen [2] :
Denke dir den Durchmesser gezogen und die eine Kreishälfte auf die andere gelegt.
Ist sie nicht gleich, so wird sie entweder innerhalb oder außerhalb zu liegen kommen.
In beiden Fällen wird sich die Folgerung ergeben, daß die kürzere Gerade
gleich ist der längeren; denn alle Linien vom Mittelpunkt an die Peripherie sind
einander gleich. Das ist aber unmöglich. Sie werden also so aufeinander passen, daß sie
gleich sind. Also halbiert der Durchmesser den Kreis.
Dieser Beweis arbeitet mit der "Methode des Aufeinanderlegens". Das Kongruenzaxiom ( Axiom 7 (Buch I) (engl. com. not. 4)) von Euklids Elementen [5] lautet: "Was einander deckt ist einander gleich".
Man kann diesen (von Proklos zitierten) Beweis als einen der ersten Widerspruchsbeweise ansehen - noch vor den klassischen indirekten Beweisen von Paramenides und Zenon (ca. 500 v. Chr.) von Elea. Die Stelle "...Ist sie nicht gleich, so wird sie entweder..." deutet darauf hin.
Bei Euklid ist dieser Satz zur Definition geworden. Warum das so ist, kann man
bei Heuser ([2]) nachlesen:
Man hat vermutet, Euklid habe sich an dem empirischen Erdenrest gestoßen,
der seinem Kongruenzaxiom anhaftet. In diesem Axiom scheint ja die Vorstellung zu stecken,
man bewege eine Figur (um sie nämlich auf eine andere
zu legen); "bewegen"aber könne man nur etwas Materielles.
Dem hält Bertrand Russell entgegen:
... eine empirische "Bewegung" sei hier gar nicht nötig, es
genüge ein Übertragen der Aufmerksamkeit von einer Figur
zur anderen. Für diese These spricht auch der Umstand, daß die
griechischen Mathematiker ihre Figuren in Sand einzeichneten;
von einem "Aufeinanderlegen" solcher Gebilde konnte natürlich keine Rede sein.
Dieses "Aufeinanderlegen" war lediglich ein geistiger Akt; und Proklos beginnt
denn auch den Beweis des Halbierungssatzes mit den Worten: "Denke dir
einen Durchmesser gezogen und die eine Kreishälfte auf die andere gelegt."